بالنسبة للكثيرين، فإن فكرة الرياضيات ستجلب لهم ساعات لا حصر لها من الصيغ والمعادلات في المدرسة. قد يبدو من الصعب تخيل ذلك، ولكن كان هناك وقت لم يكن فيه الحساب موجودًا. بطبيعة الحال، كانت هناك حاجة إلى استخدام الحسابات المعقدة لحل المشكلات في العالم الحقيقي، ولكن لم يكن الأمر كذلك إلا بعد أن وضع محمد بن موسى الخوارزمي، “أبو الجبر”، الأساسيات لحل المعادلات، حيث بدأنا في وضع أسس الرياضيات الحديثة.
في هذا المقتطف من كتابها الجديد “المتجهات: قصة مدهشة عن المكان والزمان والتحول الرياضي“، رياضياتي روبين اريانرود يستكشف تطور لغة الرياضيات على مدار 4000 عام – من الأوصاف المعقدة إلى الشكل الرمزي الذي نعرفه اليوم.
تعلم التفكير بشكل رمزي
لقد كان الجبر جزءًا من الرياضيات منذ أن بدأت السجلات منذ ما يقرب من 4000 عام، ولكن ليس دائمًا بالشكل الرمزي الذي نتعلمه اليوم. في الواقع، في معظم تلك الآلاف الأربعة من السنين، كانت مكتوبة بالكامل بالكلمات والأرقام – على الرغم من أن أعمالًا مثل كتاب إقليدس الشهير الذي يعود تاريخه إلى عام 300 قبل الميلاد “عناصر“كما تضمنت أيضًا مخططات هندسية، للمساعدة في إثبات أشياء مثل نظرية فيثاغورس، ولإظهار كيفية توسيع المربعات التي نكتبها اليوم على أنها (أ+ب)^2.
وهكذا تم التعبير عن “الجبر” في مسائل لفظية معقدة أو رسوم بيانية متزايدة التعقيد ـ على الرغم من أن الهندسة كانت لها مزاياها. على سبيل المثال، إنها أسهل طريقة لإثبات نظرية فيثاغورس. وفي الشكل 1.1، قدمت تكييفاً جبرياً لمثل هذا الإثبات، على الرغم من أن القدماء أعادوا ترتيب الرسم البياني ببساطة لإظهار بصرياً أن المساحة المظللة تساوي مجموع مساحات المربعات على الأضلاع المجاورة للمثلث ـ وهو نهج ذكي للغاية!
لقد استغرق الأمر وقتاً طويلاً حتى ظهر الجبر كموضوع منفصل عن الحساب والهندسة. ولم يحصل الجبر على اسمه حتى العصور الوسطى، وكان ذلك بفضل عالم الرياضيات الفارسي في القرن التاسع محمد بن موسى (الخوارزمي)… درس في جامعة الخليفة المأمون الرائدة في بغداد، أو “بيت الحكمة”، عندما كانت حركة الترجمة العربية الكبرى في ذروتها: تم جمع المخطوطات اليونانية والهندية وغيرها من المخطوطات القديمة من جميع أنحاء العالم. الإمبراطورية الإسلامية المزدهرة وترجمتها إلى اللغة العربية.
إن الإمبريالية نادراً ما تكون أخلاقية وغالباً ما تكون عنيفة، ولكنها قد تؤدي في نهاية المطاف إلى التلقيح الثقافي المتبادل، وفي هذه الحالة كانت حركة الترجمة الرؤيوية مهمة للغاية لدرجة أنه بحلول القرن الثاني عشر، كان الأوروبيون يتعلمون اللغة العربية من أجل ترجمة هذه المخطوطات إلى اللاتينية – بما في ذلك “مخطوطات بطليموس”.المجسطي” و”العناصر” لإقليدس، إلى جانب مؤلفات عربية جديدة مثل أعمال الخوارزمي. واسم “الجبر” الشهير يأتي من الكلمة الأولى في عنوان كتابه “الجبر والمقابلة” – والتي تعني شيئا. يحب “الكتاب المختصر في الحساب بالجبر والموازنة“.”
وبناءً على المشاكل التي أدرجها الخوارزمي، فإن أحد الأمثلة على ما قصده بـ “الإكمال” هو “إكمال المربع”، وهي الطريقة التي ربما تعلمتها في المدرسة لحل المعادلات التربيعية…
ولم يكتب الخوارزمي المعادلات بالشكل الرمزي الذي نستخدمه اليوم. والواقع أن كتابه في نظر المعاصرين أقرب إلى الحساب منه إلى الجبر، وكان من بين التأثيرات المهمة التي أحدثها في أوروبا، عندما تُرجم إلى اللاتينية، ترويج النظام العشري الهندوسي العربي للأرقام، والذي تطور في نهاية المطاف إلى النظام الحديث الذي ننتهجه.
ومع ذلك، يُطلق على الخوارزمي لقب “أبو الجبر”. ربما استخدم الكلمات بدلاً من الرموز، وربما كانت المشكلات التي أدرجها بسيطة – فقد أخبرنا أن هدفه كان تعليم الطلاب كيفية حل المشكلات الأساسية في “قضايا الميراث والتركات والأقسام والدعاوى القضائية والتجارة، في جميع معاملاتهم مع بعضهم البعض، أو فيما يتعلق بقياس الأراضي، وحفر الترع، والحساب الهندسي، وغير ذلك من الأشياء على اختلاف أنواعها وأنواعها.”
لكنه وضع بشكل منهجي معادلات خطية وتربيعية على شكل كلمات، باستخدام طرق خوارزمية لحلها – أي للعثور على “الأعداد المجهولة”، وهي طريقة تفكيرنا الحديثة. س‘رمل يفي الواقع، الكلمة الإنجليزية “algorithm” – والتي تعني مجموعة من القواعد لإجراء عملية حسابية أو عملية أخرى – تأتي من “algorismi”، وهي محاولة لاتينية مبكرة للخوارزمي.
…
يكمن جمال المعادلات الرمزية في أنه من الأسهل رؤية هذه الأنماط العامة عندما تتمكن من رؤية المشكلة في لمحة. قارن هذا:
Take the square of the unknown number,
then add the unknown number to itself
and take the sum away from the square;
now let the total be eight.مع هذا:
x^2–2x=8وهناك المزيد: حل علماء الرياضيات الأوائل كل معادلة على حدة، لكن الأمر يصبح أسهل إذا تمكنت من رؤية أي طريقة تعمل على حل المعادلة. س^2–2س=8 ستعمل أيضًا مع أي معادلة بنفس الشكل، x^2–ax=bوفي نهاية المطاف، بدأ علماء الرياضيات القدماء في إدراك هذا، ولكن التقدم كان بطيئًا نسبيًا لأنهم اضطروا إلى الاحتفاظ بكل هذه الأنماط في رؤوسهم، أو في جمل طويلة ومعقدة، وكان من السهل فقدان المسار.
أول من نشر أي معادلة في شكل رمزي شفاف وحديث يمكن التعرف عليه هم [Thomas] هاريوت المنفذون في عام 1631، ثم [René] ديكارت في ملحق لكتابه “خطاب حول المنهج” عام 1637. (كانت هناك بعض المحاولات السابقة، لكن الرمزية – التي يُطلق عليها بشكل أكثر دقة الاختصار – كانت معذبة وغريبة). وحتى العلامات +، و-، و=، و× التي نعتبرها أمرا مفروغا منه، لم يتم استخدامها على نطاق واسع إلا في القرن السابع عشر. مما يعني أن علماء الجبر الأوائل الذين نعرفهم – قدماء بلاد ما بين النهرين، والمصريين، والصينيين، واليونانيين، والهنود في العصور الوسطى، والفرس، والعرب، بالإضافة إلى الأوروبيين المعاصرين الأوائل – قد عبروا جميعًا عن معادلاتهم في الغالب بالكلمات أو الصور اللفظية المصورة. .
متعلق ب: 9 معادلات غيرت العالم
إن التفكير الرمزي مهارة فريدة من نوعها، كما يتبين من هذا التاريخ الطويل. ولنأخذ على سبيل المثال مسألة الكلمات التي ذكرتها أعلاه: إنها مثال للتفكير الخوارزمي. ولكن التفكير الرمزي خوارزمي وأكثر من ذلك، لأن رموزه تحتوي أحياناً على بذور نوع جديد من الإبداع ــ نوع جديد من الفكر البعيد المدى ولكنه اقتصادي.
الحالة الكلاسيكية هي البرت اينشتاين‘س هـ=مك^2لم يكن هدف أينشتاين هو إيجاد العلاقة بين الطاقة والمادة، بل كان يريد ببساطة حساب الطاقة الحركية للإلكترون المتحرك وفقًا لنظريته الجديدة. نظرية النسبية، بحيث يمكن اختبار توقعاته النظرية تجريبيا.
ولكن بعد بضعة أشهر، بدأ أينشتاين البالغ من العمر 26 عاماً يدرك أهمية معادلته. فسجلها في خامس ورقة بحثية رائدة له في عام 1905، والتي حملت عنوان “السنة المعجزة”، ولكن الأمر استغرق منه عامين آخرين لاستخلاص التداعيات الدرامية الكاملة لهذه العلاقة الرمزية. وإدراكاً منه أن هذه ليست مجرد حساب يتعلق بشكل معين من أشكال الطاقة ونوع معين من المادة، فقد كانت عامة: فإذا اكتسب الجسم (أو فقد) الطاقة، فإنه يكتسب (أو يفقد) الكتلة أيضاً. وهذه الفكرة الغريبة غريبة على كل خبراتنا الفطرية السليمة ــ ولكنها كانت هناك، مخفية في رموز معادلته. واستغرق الأمر عقوداً من الزمان من علماء الفيزياء التجريبية لتأكيد هذا التنبؤ الرياضي المذهل تجريبياً.
مثال أبسط وأقدم بكثير هو تسلسل القوى س, س ^ 2, س^3 وما إلى ذلك وهلم جرا. “القوة” الأولى هي 1، لذلك س هو حقا س^1 حيث كان الرقم 1 مرتبطًا تقليديًا هندسيًا بخط أحادي الأبعاد. والرقمان التاليان، س ^ 2 و س^3تُنطق “x squared” و”x cubed” قياسًا على مساحة المربع وحجم المكعب. تسلط هذه الأسماء الضوء على الطريقة التي فكر بها علماء الرياضيات الأوائل هندسيًا وليس جبريًا، بسبب الطبيعة الملموسة للهندسة. على النقيض من ذلك، فإن الجبر الرمزي مجرد: عليك أن تعطيه معنى، حتى لو كان مجرد عرض لنمط مثير للاهتمام مثل س، س ^ 2، س ^ 3، س ^ 4، … ولكن هذه المرونة هي القوة العظمى للجبر. فبوسعك أن تكتب عددًا لا حصر له من القوى العليا كما تشاء، دون أن تضطر إلى تصورها كأشياء مادية.
قد يبدو هذا واضحًا اليوم، لكن الأمر استغرق ثلاثة آلاف ونصف سنة حتى ينتقل علماء الرياضيات من حل المعادلات التربيعية – كلمة “تربيعية” مشتقة من الكلمة اللاتينية التي تعني “مربع”، لذا فإن المعادلات التربيعية هي تلك التي تتمتع بأعلى قوة س ^ 2 (المجهول مضروبًا في نفسه، كما قال القدماء) – لحل المعادلات “المكعبة” والأعلى. هذه المعادلات ذات الدرجة الأعلى هي أصعب بكثير، بالطبع؛ لكن جزءًا من السبب في صعوبة الحلول هو أن الجبر كان مرتبطًا بالكلمات والصور الملموسة لفترة طويلة جدًا.
على سبيل المثال، ذكرت “إكمال المربع” الذي ابتكره الخوارزمي لحل معادلة تربيعية. إنها في الواقع مشكلة عمرها 4000 عام، ويرجع تاريخها (بقدر ما تظهر السجلات التاريخية) إلى الألواح المسمارية التي صنعها علماء الرياضيات الذين عاشوا، مثل الخوارزمي، في منطقة العراق الحديثة. حل هؤلاء القدامى من بلاد ما بين النهرين المعادلات التربيعية بإكمال المربع حرفيًا.
هنا هو مشكلة تعليمية نموذجية في ذلك الوقت: “أضف 20 من طولي إلى مساحة مربعي، [to get] 21. ما مدى مربع مربعي؟ هذا النوع من المشاكل، والخوارزمية المستخدمة لحلها، تشبه تلك التي يتم تدريسها اليوم – إلا أنه قبل أربعة آلاف عام، تم التوصل إلى الطريقة هندسيًا بالكامل. أولاً، ارسم مربعًا بأضلاع عشوائية س (في التدوين الحديث)؛ ثم أضف إليه مستطيلاً أبعاده 20 [by] س. الآن قم بتقسيم هذا المستطيل الإضافي إلى مستطيلين متساويين أصغر حجمًا ورتبهما بجوار المربع الأصلي وأسفله. وأخيرًا، أكمل هذا المربع الجديد الأكبر حجمًا، كما في الشكل 1.2.
كان أهل بلاد ما بين النهرين يواجهون مشاكل عملية عندما طوروا هذه الطريقة، على الأقل في البداية. ولأنهم كانوا يعيشون في أرض حيث كانت المياه نادرة، فقد احتوت ألواحهم على العديد من المشاكل المتعلقة بحفر القنوات والخزانات، وسعة الصهاريج، وبناء وإصلاح السدود والسدود، والحسابات الإدارية المتعلقة بهذه المهام ــ ولحل هذه المشاكل، كان على علماء الرياضيات القدامى حل معادلات تتعلق بالمساحات والأحجام.
وبعد ما يقرب من 3000 عام، ركز الخوارزمي أيضًا على مسائل عملية مماثلة، واستخدم طريقة هندسية مماثلة لإكمال المربع – وكذلك فعل علماء الرياضيات الآخرون حتى القرن السابع عشر.
تم تحرير هذا المقتطف من حيث الأسلوب والطول. أعيد طبعه بإذن من “المتجه: قصة مفاجئة للمكان والزمان والتحول الرياضي” بقلم روبين أريانرود، نشرته مطبعة جامعة شيكاغو. © 2024 بواسطة روبين أريانرود. كل الحقوق محفوظة.
عبد الرحمن العمارتي هو شاب سعودي متعدد المواهب، يتمتع بخلفية تنوعت بين التدوين والطب. وُلد في عام 1988، مما يجعله في سن مبكرة لتحقيق إنجازات ملحوظة. يُعرف عبد الرحمن بمهاراته الاستثنائية في مجال التدوين، حيث يمتلك قدرة فريدة على التعبير عن الأفكار والمفاهيم بشكل ملهم وجذاب.
بالإضافة إلى موهبته في التدوين، يمتلك العمارتي خلفية قوية في مجال الطب، حيث حصل على درجة الدكتوراه في تخصص معين. هذا يظهر تفانيه في العمل الأكاديمي واستعداده لاستكشاف مجالات جديدة وتحقيق نجاحات فيها.
تجمع شخصية عبد الرحمن بين العلم والأدب، حيث يجمع بين خبرته الطبية وقدراته في التدوين لنشر المعرفة والوعي بمواضيع صحية وأدبية واجتماعية. تعتبر هذه الخلفية المتنوعة ميزة بارزة تعكس تفانيه في تطوير ذاته وخدمة المجتمع.
